المصفوفات والمحددات

مصفوفات

Matrix calculus is a mathematical tool used in connection with linear equations , linear transformations, systems of differential equations etc. Matrices are important in physics, engineering, statistics etc. مصفوفة حساب التفاضل والتكامل هو أداة الرياضية المستخدمة في اتصال مع المعادلات الخطية ، والتحولات الخطية ، ونظم المعادلات التفاضلية مصفوفات الخ هامة في الفيزياء ، والهندسة ، والاحصاءات الخ
The notes below include only basic rules for basic matrix manipulation... وتلاحظ أدناه تشمل القواعد الأساسية فقط للتلاعب المصفوفة الأساسية...
Consider the linear transformation.. النظر في التحول الخطي..

y ₁ = a ₁₁ x ₁ + a ₁₂ x ₂ ذ ₁ = ₁₁ س ₁ أ + أ _{12 × 2} y ₂ = a ₂₁ x ₁ + a ₂₂ x ₂ ص ₂ = ₂₁ أ ₁ س + أ ₂ س ₂₂

These equations can be expressed using Matrices as follows يمكن التعبير عن هذه المعادلات باستخدام المصفوفات كما يلي

1) A matrix is an array of numbers . 1) مصفوفة هو مجموعة من الأرقام. A matrix with m rows and n columns is order mxn and is shown as follows.. مصفوفة مع الصفوف والأعمدة م ن هو mxn النظام ويظهر على النحو التالي..

2)A row matrix has one row of numbers as shown below:- 2) صف المصفوفة وقد صف واحد من الأرقام كما هو مبين أدناه : --

3) A column matrix has one column of numbers as shown below:- 3) مصفوفة عمود وعمود واحد من الأرقام كما هو مبين أدناه : --

4) A square matrix is one with an equal number of rows and columns ie m = n 4) مصفوفة مربع واحد مع عدد متساو من الصفوف والأعمدة م أي ن =

5) A diagonal matrix is a square matrix with all numbers zero apart from diagonal numbers as shown below:- 5) قطري مصفوفة مصفوفة مربع مع كافة الأرقام صفر وبصرف النظر عن الأرقام قطري كما هو مبين أدناه : --

6) A unit matrix is a square matrix with all diagonal numbers = 1:-. 6) وحدة مصفوفة مصفوفة مربع مع كافة الأرقام قطري = 1 : -. The other elements being 0.. العناصر الأخرى التي يجري 0..

7) A Symmetric matrix is one with a _ij = a _ji 7) مصفوفة متناظرة واحد مع _ط = أ _جي

8)A null matrix has all elements = 0 8) فارغة مصفوفة لديه كل العناصر = 0

9)The addition of matrices are completed as follows:- 9) الانتهاء من إضافة مصفوفات على النحو التالي : --

10) The multiplication of matrices are completed as follows:- 10) يتم الانتهاء من الضرب من مصفوفات على النحو التالي : --

11) A Matrix is transposed so that each row element becomes a column element and vice-versa:- 11) يتم تحويل مصفوفة بحيث يصبح كل عنصر من عناصر الصف عنصر العمود ، والعكس بالعكس : --

12 )The inverse of a matrix is defined as follows:- 12) ويعرف معكوس مصفوفة على النحو التالي : --

The inverse can be defined only a for square matrix.. ويمكن تعريف معكوس فقط عن مصفوفة مربعة.. There are cases where even a square matrix cannot be so defined. هناك حالات حيث حتى لا مصفوفة مربعة ويمكن تعريف ذلك.
Transormation from cylinderical co-ordinates to cartesian co-ordinates Transormation من cylinderical الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات
An example of the use of matrices is the transformation of Cylinderical co-ordinates to cartesian co-ordinates in vector algebra.. A transformation vector can be determined [A] such that the cartesian co-ordinate {V} _cart = [A]{V} _cyl مثال على استخدام مصفوفات هو تحويل Cylinderical الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات في الجبر ناقلات.. يمكن أن تكون مصممة لتحويل ناقلات [أ] بحيث الرئيسان تنسيق الديكارتي ، {الخامس} _السلة = [أ] { _سيل الخامس}

---

Determinants المحددات

Determinants are Arrays which are very useful in the analysis and solution of systems of linear algebraic equations. المحددات هي صالحة التي هي مفيدة جدا في تحليل وحل نظم المعادلات الجبرية الخطية. Generally the solutions are unmanageable when written at length. عموما لا يمكن السيطرة عليها الحلول عندما كتب في طول. Using determinants the equations become relatively simple expressions. As and example consider the equations باستخدام المحددات المعادلات تصبح عبارات بسيطة نسبيا. كما والمثال النظر في المعادلات

a ₁ x + b ₁ y + c ₁ =0 أ ₁ س + ب + ج ₁ ص ₁ = 0 a ₂ x + b ₂ y + c ₂ =0 (أ) ₂ س + ب + ج ₂ ص ₂ = 0

The solution is obtained in the form ويتم الحصول على حل في شكل

x / (b ₁ .c ₂ - b ₂ .c ₁ ) = y / (c ₁ .a ₂ - c ₂ .a ₁ ) = 1 / (a ₁ .b ₂ - a ₂ .b ₁ ) س / ب ₁ -- ج _{2 2.} ب ج ₁₎ = ص / ج ₁ -- ج ₂ من _{2 1.} أ) = 1 / (أ ₁ -- ب _{2 (أ) 2 1.} ب)

The denominators of this solution can be expressed simply in the form of determinants eg ويمكن التعبير عن قواسم هذا الحل ببساطة في شكل المحددات مثل

1) Determinant Order. 1) أمر حاسم.

The order of the determinant equations refers to the number of rows/colums eg ترتيب المعادلات محددا يشير إلى عدد الصفوف / colums على سبيل المثال

2) Minor of determinant element 2) من العنصر المحدد الصغرى

If the row and column of any element is deleted then a reduced order determinant remains which is called the minor determinant of the element in question..eg considering the fouth order deteterminant above.. وإذا كان الصف والعمود من أي عنصر يتم حذف ثم محددا أجل خفض يبقى وهو ما يسمى طفيفة المحدد للعنصر في السؤال.. على سبيل المثال النظر في النظام fouth deteterminant أعلاه..

3) Co-Factor of Determinant element 3) المشارك عامل من محددات عنصر

Associated with each element is a sign (+ or -) this is established by counting the number of row and column steps to get from the first element and if the steps are 0 or even the sign is (+ ) and if the steps are odd the sign is ( - ). المرتبطة بكل عنصر هو علامة (+ أو --) وهذا هو الذي أنشأه حساب عدد الأعمدة والصفوف للحصول على خطوات من العنصر الأول وإذا كانت الخطوات 0 أو حتى قم (+) واذا كانت الخطوات الفردية هو علامة (--). eg على سبيل المثال

The co-factor of and element is the minor of the element x the relevant sign. الرئيسان عامل وعنصر القاصر العنصر العاشر علامة ذات الصلة. eg على سبيل المثال

4) Expansion of Determinant 4) توسيع نطاق محددات

The expansion of a determinant is completed by adding the product all of elements with their co-factors for any row or column. من المحددات اكتمال التوسع بإضافة منتج من جميع العناصر المشتركة مع العوامل ، من أجل أي صف أو عمود. eg على سبيل المثال

An example of the expansion of a determinant is provided below.. وهناك مثال لتوسيع محددا أدناه..

The expansion of the determinant is simplified by using the row or column with zero elements if any as the relevant element-co-factor is zero.. من العوامل الحاسمة هو تبسيط التوسع باستخدام صف أو عمود مع عناصر صفر كما إن وجدت ذات الصلة عنصر عامل مشترك هو الصفر..

4) Changing rows and columns 4) تغيير الصفوف والأعمدة

The value of a determinant is not altered if its rows are written as columns , in the same order.. لم يتم تغيير قيمة محددا إذا مكتوبة صفوفه كأعمدة ، في نفس الترتيب..

5)Interchanging rows or columns .. 5 تتبادل) الصفوف أو الأعمدة.. Provided without proof المقدمة دون دليل

If any two rows or any two columns are interchanged the result is a change in sign of the determinant... إذا أي صفين أو أية أعمدة هما متبادل والنتيجة هي تغيير في علامة المحدد...

6) Equal Rows of Columns ...Provided without proof 6) المساواة في صفوف من الأعمدة... شريطة دون دليل

A determinant with two rows or columns equal has zero value.. أحد المحددات مع اثنين من الصفوف أو الأعمدة على قدم المساواة والقيمة صفر..

7) Multiplying Determinant row or column by a constant ...Provided without proof 7) ضرب محددات صف أو عمود بواسطة ثابت... شريطة دون دليل

If all the elements of one row (or one column) is multiplied by the same factor (say k) , the value of the determinant is kx the value of the given determinant. إذا كان عناصر من صف واحد (أو عمود واحد) يتم ضرب كل من العامل نفسه (قل ك) ، قيمة المحدد هو kx قيمة المحدد معين.
This can be used to simplify a determinant as follows.. ويمكن استخدام هذا لتبسيط محددا على النحو التالي..

8) Zero rows or columns in determinant ...Provided without proof 8) صفر الصفوف أو الأعمدة في محددا... شريطة دون دليل

If all of the elements of a row or a column is zero then the value of the determinant is zero. إذا كانت كافة عناصر من صف أو عمود صفر ثم قيمة المحدد هو صفر.

9) Determinant Row or Column expressed as binomial ... 9) صف أو عمود كما أعرب عن محددات ذي الحدين...

If the elements of a row or column are expressed as a binomial the determinant can be written as the sum وإذا كان يتم التعبير عن عناصر صف أو عمود كما محددا الحدين تكون مكتوبة كمجموع of two determinants... اثنين من المحددات...

Solution of linear simultaneous equations provided without proof حل المعادلات الآنية الخطية المقدمة دون دليل

An example of solving 3 linear equations can be expressed as يمكن التعبير عن مثال حل المعادلات الخطية و3

a ₁ x + b ₁ y+ c ₁ y + d ₁ = 0 أ ₁ س + ب + ج ₁ ص ₁ ص + د ₁ = 0 a ₂ x + b ₂ y+ c ₂ y + d ₂ = 0 (أ) ₂ س + ب + ج ₂ ص ₂ ص + د ₂ = 0 a ₃ x + b ₃ y+ c ₃ y + d ₃ = 0 ₃ أ س + ب + ج ₃ ص ₃ ص + د ₃ = 0

Using determinants this is solved by the following relationship< استخدام محددات هذا هو حلها عن طريق <العلاقة التالية

Example المثال

Solve the equation.. حل المعادلة..

5x - 6y + 4z = 15 5x -- 6y + 15 = 4Z 7x + 4y - 3z = 19 7x + 4y -- 3z = 19 2x + y + 6z = 46 2x + ص + 46 = 6z

This equation is rewritten as يتم إعادة كتابة هذه المعادلة كما

5x - 6y + 4z - 15 = 0 5x -- 6y + 4Z -- 15 = 0 7x + 4y - 3z - 19 = 0 7x + 4y -- 3z -- 19 = 0 2x + y + 6z - 46 = 0 2x + ص + 6z -- 46 = 0

Expressing this in determinant form وإذ يعرب عن هذا في شكل محدد

On evaluating the denominators. على تقييم القواسم.

( x /-1257 ) = ( y /-1676 ) = ( z / -2514 ) = ( -1 /419 ) (خ / -1257) = (ص / -1676) = (ض / -2514) = (-1 / 419)

Dividing each denominator by 419 results in تقسيم كل من قاسم 419 في النتائج

( x /--3 ) = ( y /-4 ) = ( z / -6 ) = -1 (س / -- 3) = (ص / -4) = (ض / -6) = -1

Thi s results inهذه النتائج في

x = 3:  y =4:  z =6 س = 3 : ص = 4 : ض = 6 

أنتهى  :::مرام العنزي