الاثنين، 29 نوفمبر، 2010

أهم فروع الرياضيات

معادلات تفاضلية
في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة .
و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات .
تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء و الكيمياء ،وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية و الإجتماعية و الإقتصادية .
يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :
·معادلات تفاضلية نظامية تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد و مشتقات هذا المتغير .
·معادلات تفاضلية جزئية تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية .
تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول و مشتق ثان فقط تعتبر
من الرتبة الثانية ... وهكذا .
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط
درجة المعادلة التفاضلية :
- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى
.. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة ، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث ،فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل
،فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة ،وهكذا .
تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية .
وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :
1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها
دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت .
2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس ،
أي كلها من الدرجة الأولى .
وتكون غير خطية فيما عدا ذلك .
ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى ،
بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية ،
لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى،
ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة ،
وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية .
- معادلة برنولي هي معادلة خطية


نظرية الأعداد

نظرية الأعداد هو فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد الصحيحة،سواء كانت طبيعية أو نسبية،و تتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين.
بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية.
من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة.
فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة و الأوليّة و التحليل(إلى جداء عوامل أولية).
كما تدرس خواص التجزئة و ما قارب ذلك.
و يوجد فروع أخرى نذكر منها
نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسةالأعداد الصماء و الأعداد المتسامية
و نظرية التحليل في التوسيعات الجبرية و غير هذا،
و نظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية)
حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية


تحليل رياضي

يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية ،
حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل،التقعر و الإنعطاف
في منحنيات التوابع و الدوال، وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد عقدية والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي


جبر خطي

الجبر الخطي (Linear Algebra)
هو فرع من الرياضيات مهتم بدراسة الأشعة ، فضاء شعاعي (أَو فضاءات خطية)، التحويلات الخطية ، ونظم خطية. تعتبر فراغات الأشعة موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛
لذا يعتبر الجبرالخطي كثير الإستعمال في كلا من الجبر المجردوالتحليل الدالي.
الجبر الخطي له أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعةوالعلوم الاجتماعية.
بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد.
ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها.
يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي و الخارجي)
وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية.
يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة
الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا


نظرية الزمر

نظرية الزمر Group Theory
هو فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الزمر Groups و خواصها .
الزمرة تعني باللغة العربية جماعة مشتركة في صفة او عدة صفات مختلفة ومنها ايضا سورة الزمر في القران الكريم
اما معناها الرياضي فتهتم بالمجموعات العددية المختلفة مثل الاعداد الطبيعية والنسبية والكسرية ............الخ
ولكي يمكننا القول بان مجموعة ما زمرة فلها 4 شروط بجانب شرط خامس اضافي ويمكننا ان نقول ان (*&R) تكون زمرة حيث * هى عملية رياضية ولتكن الضرب
و R هي مجموعة الأعداد الحقيقية اذا حققت ما ياتي :
1- الإغلاق وهو ان عملية الضرب لاي عنصرين موجود داخل ال R
2- الدمج
3-التوزيع
4- المحايد
اما الشرط الخامس فهو الابدال
وتسمي زمرة ابدالية


تحليل حقيقي

التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية و الدوال المعرفة عليها .
يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من علم الحسبان(التفاضل و التكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات و نهاياتها ،
الاستمرار في الدوال ، الاشتقاق الرياضي ، التكاملات الرياضية و اخيرا متتاليات الدوال .
بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' ،كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال
المعممة generalized function عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في
نظرية المجموعات المبسطةnaive set theory أو elementary set theory ، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة
الرياضية ، ثم مقدمة للأعداد الطبيعية و تقنيات البرهان الهامةللاستقراء الرياضي mathematical induction .
من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقيةبشكل بدهي(أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متتاليات كاوشي
Cauchy sequence و حد ديديكايند Dedekind cut
للأعداد المنطقةrational number النتائج البدئية تشتق أولا ،اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value ،
ثل متراجحة المثلثtriangle inequalityو متراجحة برنولي Bernoulli's inequality


.
سهام فيصل العتيبي

الأحد، 28 نوفمبر، 2010

الفضل

الفضل في اللغة هو الزيادة وأفضلَ من الشيء أبقى منه بقية. وعند الرياضيين العرب كان يُطلَق على البقية الباقي والفضل والفضلة والتفاضل والتفاوت

بهذه المقدمة اللغوية استهل الدكتور عاصم ضيف أستاذ الرياضيات بكلية الهندسة جامعة القاهرة كتابه حساب التفاضل والتكامل الذي طالما انتظرته المكتبة العربية إذ يُلبِّى مطلب التعريب لدى جموع المثقفين والمجامع اللغوية في الوطن العربي . وهو أول مرجع جامع شامل للعلم باللغة العربية. ويمتاز الكتاب عن المراجع الغربية بمزجه التاريخ بالمادة العلمية؛ وهو اتجاه رائد لم يسبقه إليه أحد إذ يُؤرِّخ لعلم التفاضل والتكامل منذ بداية نشأته عند أرشميدس أشهر رياضيّي الحقب القديمة والمُؤسِّس الأول لعلم التكامل ،  فالتسلسل التاريخي للعلم بدأ بالتكامل لا بالتفاضل كما يُدرَس العلم في الجامعات الآن
ويُركِّز المؤلف على دور العرب الباهر فيه مثل دور ابن الهيثم العالم الفيزيائي الذي عاش بمصر في أوائل القرن الحادي عشر الميلادي والذي استطاع تعميم متطابقات أرشميدس لتوسعة رقعة تطبيق العلم كما اعترف العلماء الغربيون بذلك وأنه ساهم في اكتشاف ما يُسمَّى اليوم بمجموع ريمان. كما عرض المؤلف لحساب الكاشي للنسبة "ط" بدقة بالغة لم يصل إليها رياضيُّو القرن السابع عشر وهو العالم الذي عاش في سمرقند في أوائل القرن الخامس عشر ويُعدُّ بحق أبًا للتحليل العددي مثلما كان الخوارزمي أبًا لعلم الجبر وقد أرسى طريقة هورنر لحل المعادلات قبله بأربعة قرون. والمعروف أن للعرب إسهامات في طرق حل المعادلات مثل تقريبات الجذور للخوارزمي والطوسي وطريقة حساب الخطأين لقسطا بن لوقا وهى أصل ما يُسمَّى اليوم بطريقة الوضع الزائف. ولعمر الخيام الشاعر والفيلسوف المعروف إسهامات في حل معادلات الدرجة الثالثة ولأبى الوفاء البوزجاني طريقة لحل معادلات الدرجة الرابعة وأعلن الخيام أن معادلة فيرمات الأخيرة من الدرجة الثالثة ليس لها حل وهى المعادلة التي ثَبُتَ أنه ليس هناك قيم صحيحة موجبة تحققها في حالتها العامة إلا في هذا القرن ومنذ عدة سنوات فقط
ويُؤرِّخ الكتاب للفترة الزاهرة لمكتبة الإسكندرية وهى ليست مكتبة بالمعنى الحديث على الرغم من ضمِّها لعدد 800000 بردية علمية بل هي جامعة درس فيها أشهر رياضيّي العصور القديمة مثل أرشميدس، وإقليدس، وأبولونيوس ثالث أشهر رياضي في الجامعة وعُرف بلقب إبسلون وهو رقم غرفته فيها حيث كانت الغرف مرقَّمة في هذه الأكاديمية، وأراتستين المصري أول جغرافي في العالم قاس قطر الأرض بدقة بالغة تقارب القياس الحالي ولقبه بيتا وكان راعيا للمكتبة لفترة طويلة وهى وظيفة شرفية ، وبطليموس الفلكي المصري الذي كتب كتاب الفلك الشهير "المجسطي" وقد اعتمدت جداوله حتى عصر النهضة، وبابوس، ومينلوس، وهيرون المصري صاحب نظرية حساب مساحة المثلث بدلالة أطوال أضلاعه، وثيون وابنته هيباتيا، وديوفانتوس عالم الجبر المعروف
وهذا المزج العظيم بين الحضارتين المصرية واليونانية هو الذي أثرى الحياة العلمية لدول البحر الأبيض المتوسط فغدت الإسكندرية عاصمة العالم القديم العلمية ومكتبتها أول جامعة دولية عرفها العالم، حتى فيثاغورث وإن كانت المكتبة أُنشئت بعده لم يُعلن عن النظرية المعروفة باسمه إلا بعد أن زار مصر، وكذلك زارها أفلاطون من أشهر فلاسفة مدرسة أثينا ويحدثنا سترابو أن منزله في هليوبوليس كان معروفاً. كما يُشير المؤلف إلي بردية أحمس (كاتب وليس الملك أحمس) والمسائل المشروحة بها مثل حساب قيمة "ط" وحساب مساحة الدائرة بطريقة شبيهة بطريقة أخذ النهاية وإلى نسب الأهرامات اللافتة للنظر والنسبة الذهبية الجمالية التي عرفها المصريون القدماء قبل إقليدس وهى تحدد نسب وأبعاد بعض المقابر أيضا
والكتاب يُعدّ بذلك محاولة رائدة وفريدة من نوعها أنفق المُؤلف في إعداده سنين طويلة لا ليكون مرجعا فقط للعلم بل ليخاطب دوائر رحبة من المثقفين. وللمؤلف مراجع بالإنجليزية منشورة بكبرى دور النشر في العالم لكنه يقدم هذا الكتاب لأبنائه من الطلاب والدارسين العرب ليُطلعهم على دور أجدادهم في العالم. ويُركِّز على دور مصر العلمي الإسلامي الرائد حين يذكر أن ابن الهيثم كتب كتابه "المناظير" بالقاهرة وإقليدس كتب كتابه "الأصول" بالإسكندرية وهو أشهر كتاب علمي في التاريخ على الإطلاق فصدر منه ألف طبعة حتى الآن ، والمعروف أن أصل إقليدس مشكوك فيه حتى أن المؤرخ سميث لا يستبعد أن يكون مصريا
وأخيرا يُلبِّى الكتاب حاجة التدريس للعلم بالطرق غير التقليدية مثل الاستعانة بالبرامج المتخصصة التوضيحية وهو مطلب لإصلاح تدريس التفاضل والتكامل تدعو إليه الجامعات في العالم. والكتاب يحشد عددا وفيرا من الأمثلة المشروحة وضعها المؤلف بنفسه وصمَّمها بحيث تبيِّن تطبيق النظريات. كما يحوي الحلول الكاملة للمسائل وهي تربو علي الألفين سواء الزوجية منها أو الفردية لا كما تفعل المراجع الغربية من إدراجها للفردية فقط في حلول مسائلها. وأخيرا فقد استعان المؤلِّف بالوسائل المساعدة مثل الوسائط المتعددة لكي يشرح المبادئ الأساسية للعلم وهو اتجاهٌ لم يسبقه إليه أحد من المؤلفين العرب


وعد الزهراني s4

math

                                                                 


The general technique for graphing quadratics is the same as for graphing linear equations. However, since quadratics graph as curvy lines (called "parabolas"), rather than the straight lines generated by linear equations, there are some additional considerations.
The most basic quadratic is y = x2. When you graphed straight lines, you only needed two points to graph your line, though you generally plotted three or more points just to be on the safe side. However, three points will almost certainly not be enough points for graphing a quadratic, at least not until you are very experienced. For example, suppose a student computes these three points:

Then, based only on his experience with linear graphs, he tries to put a straight line through the points.
  
incorrect graph

He got the graph wrong. You, on the other hand, are more careful.

You find many points:
  

That last point has a rather large y-value, so you decide that you won't bother drawing your graph large enough to plot it.


But you plot all the other points:
  
 

Even if you'd forgotten that quadratics graph as curvy parabolas, these points will remind you of this fact.



You draw a nicely smooth curving line passing neatly through the plotted points:

  Copyright © Elizabeth Stapel 1999-2009 All Rights Reserved
  
correct graph of y = x2

Unlike the careless student, you just got the graph right.


Some students will plot the points correctly, but will then connect the points with straight line segments, like this:
  
incorrect "segment" graph

This is not correct. You do still need a ruler for doing your graphing, but only for drawing the axes, not for drawing the parabolas. Parabolas graph as smoothly curved lines, not as jointed segments.










وعد الزهراني s4

Cardano's Method

مقدمة تأريخية :
أول من حل معادلة الدرجة الثالثة على الشكل كان سبيونيه دل فرو Scipione del Ferro في أوائل القرن السادس عشر ، لكنه احتفظ بالحل سراً إلى حين وفاته حيث أفشاه إلى تلميذه أنطونيو فوير  والذي بدوره احتفظ بالطريقة سراً .
عام 1530  ، استلم نيكولو فونتانا المعروف بـتارتاغليا (Tartaglia)  معادلتين تكعبيتين من رياضي آخر وأعلن أنه استطاع حلهما .  لم يصدقه أنطونيو فوير وتحداه علناً في مسابقة تضمنت أن يضع أحد طرفي المسابقة مبلغاً من المال ويطلب من الطرف الآخر أن يقوم بحل مسائل معينة خلال 30 يوماً . وإذا حل المسألة يحصل على النقود . كان مسألة فوير هي حل المعادلة والتي نجح تارتاغليا في  حلها ، ولكن فوير فشل في حل مسألة غريمه والتي كانت وخسر المسابقة .
طلب كاردانو Cardano من تارتاغليا الحل ، والذي أفشاه له مشفراً في قصيدة بشرط أن لا يكشف عنه لأي كان .  التزم كاردانو بالوعد إلى أن عرف بحل فرو الغير منشور فحصل على مخرج من وعده بالقول أنه ينشر عمل فرو لا حل تارتاجليا  ، وقام بنشرها في كتابه Ars Magna واشتهرت الطريقة باسم كاردانو ، مع أنه من المفروض أن تسمى بطريقة فرو-تارتاجليا
لقد ساهمت هذه الطريقة بدعم موقف الرياضيين الذين تحدثوا عن الذي كانوا يواجه بتشكيك هائل ، ففي كتابه الجبر ، تحدث رافاييل بومبلي في 1572  عن المعادلة    ، حيث أن حل لهذه المعادلة ، ولكن باستخدام الصيغة التي سنثبتها في نهاية الموضوع فإن الحل الناتج   ، وقد أثبت بومبلي أن :  
 ، مما أعطى الأعداد المركبة بعداً واقعياً أكثر .
طريقة الحل 
المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:
 
  والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة 
  بتعويض على الشكل ( ) حيث يمكن إيجاد أن
نقوم الآن باستبدال آخر وهو (  x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة : 
 

والتي يمكن وضعها  على الشكل التالي :
يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان
و
من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن
 وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :
والتي يمكن وضعها على الصورة 
المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في ( )  ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :
  وبالتعويض ، نوجد v :
لذا :
ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على (  ) .
ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل :
بعد القسمة على  (  ) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة  :

مميز المعادلة التكعيبية 
بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل : 
إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ،  أو حلان : أحدهما مكرر


المـــراجع :
Michael ArtinAlgebra  Prentice Hall ,1991
J. H. Mathews and R.W. Howell  , Complex Analysis for Mathematics and Engineering4th Ed. ,  Jones and Bartlett Publishers ,2000





وعد الزهراني s4

الخميس، 25 نوفمبر، 2010

حل معادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين

معادلتين من الدرجة الاولى كلا منها يحتوي على مجهولين و كيفية حلهما معا فى آن واحد.
مثال توضيخي:
س + ص=6 ، س -ص =2
يمكن ترجمة هاتين المعادلتين الى الاتي:
ما العددان اللذين ناتج جمعهما 6 و طرحهما 2 ؟
طبعا العددان هما 4 ، 2
هل يوجد عددان غير ذلك ؟ لا
اذا يوجد حل وحيد لمعادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين.
كيف نعبر عن الحل؟
نعبر الخل فى صورة زوج مرتب و هذا يعني ان الحل (4 ،2) يختلف عن الحل (2 ، 4).
لاحظ ان:
المسقط الاول يمثل المجهول س و المسقط الثاني يمثل المجهول ص.
و الان ما هي طرق حل معادلتين من الدرجة الاولى فى متغيرين ؟
الطرقة الجبرية _ الطريقة البيانية

اولا : الطريقة الجبرية:
فكرة الحل:
يتم التخلص من احد المجهولين و عمل معادلة بسيطة فى المجهول الثاني و بعد حلها نوجد هذا المجهول الثاني و نعوض به في احد المعادلتين لايجاد المجهول الاول.

خطوات الحل:
1- للتخلص من احد المجهولين نجعل هذا المجهول فى احد المعادلتين معكوس جمعى لنفس المجهول فى المعادلة الاخرى.
مثلا :
4 س معكوسه الجمعي -4س ، - ص معكوسه الجمعي ص ، ........ و هكذا
2- نقوم بجمع المعادلتين لحذف المجهول المراد التخلص منه.
3- نحل المعادلة البسيطة التى ستظهر من ناتج الجمع لايجاد قيمة المجهول الاخر.
4- نعوض بقيمة هذا المجهول فى احد المعادلتين لايجاد قيمة المجهول الذي تم حذفه سابقا.

مثال:
حل المعادلتين :
3س+(1)ص=7 ، 1س+(3)ص= 5
الحل:
نقوم بترتيب المعادلتين
3س+(1)ص=7-------(1)
1س+(3)ص=5-------(2)
و نتخلص من المجهول س اولا (يمكنك التخلص من ص اولا )
بضرب المعادلة الاولى فى1و ضرب المعادلة الثانية فى -3ينتج أن
3س+(1)ص=7
-3س+(-9)ص=-15
_________________ بالجمع
0 +(-8)ص=-8 ...................... (نلاحظ بعد الجمع ظهور معادلة بسيطة فى المجهول ص)
بالقسمة على-8 اذا ص=1
بالتعويض عن ص فى المعادلة الاولى ينتج أن:
3س+(1)×1=7
اذا 3س+(1)=7
اذا 3س=7+(-1)
اذا 3س=6
بالقسمة على3 اذا س=2
اذا مجموعة الحل = {(2، 1)}




الطريقة البيانية:
لحل معادلتين من الدرجة الاولى فى مجهولين نمثل كل معادلة بيانيا كما فى الدرس السابق و الذي ينتج على الرسم خطين مستقيمين نقطة تقاطعهما على الشبكة البيانية يمثل حل المعادلتين معا.
و الشكل التالي يمثل الحل بيانيا للمعادلتين :

س+ 2 ص =3 ، 3 س + 2 ص =1



حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين


مثلا:

المعادلة س+ص =7 تعتبر مثال بسيط على معادلة من الدرجة الاولى فى مجهولين و الان ...ماذا تعنى هذه المعادلة؟

هذه المعادلة تعنى: ما هما العددان المجهولين اللذين ناتج جمعهما يساوى 7 ؟

ربما تكون الاجابة 2 ،5 او 1،6 أو 4،3 أو -4 ،11 أو 2.5 ، 4.5 أو ...............................

واضح ان الاجابة ستكون حلول غير منتهية . و لذلك نستطيع ان نقول:

معادلة الدرجة الاولى في مجهولين تحتوى على عدد لانهائى من الحلول .

و الان سيظهر سؤال : ما هي الصورة التى يكتب بها الحل؟

يكتب الحل على صورة زوج مرتب هكذا ( 3،4) مع ملاحظة ان :

1- المسقط الاول يشير الى قيمة س و المسقط الثاني يشير الى قيمة ص.
2- من خواص الزوج المرتب يكون(3،4) حل و (4،3 ) حل اخر.

اعتقد صديقي الطالب انك الان فى شوق لمعرفة طرق حل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين .

يوجد طريقتين للحل هما الطريقة الجبرية و الطريقة البيانية.

الطريقة الجبرية :

تعتمد هذه الطريقة على تحويل معادلة الدرجة الاولى في مجهولين الى معادلة بسيطة من مجهول واحد.

كيف يتم ذلك؟

كما عرفت فى بداية الدرس ان معادلة الدرجة الاولى في مجهولين تحتوي على مجهولين س ، ص سنقوم بفرض قيمة لاحد المجهولين س أو ص و بذلك تتحول المعادلة الى معادلة بسيطة كما بالدرس السابق و نحلها باستخدام الاضافة و القسمة .

اعتقد انه من الافضل اعطاء مثال :

حسنا... سنقوم الان بايجاد احد حلول المعادلة 2 س +ص =5

و لايجاد ذلك سنفرض قيمة للمتغير س مثلا :

اي بفرض س=3 (يمكنك فرض اي عدد مناسب تريده)

اذا 2×3+ص=5

اذا 6 + ص=5 (اصبحت المعادلة فى مجهول واحد)

اذا ص = 5- 6 باضافة المعكوس الجمعى للعدد 6 للطرفين

اذا ص=-1

احد حلول المعادلة هى (3 ، -1)

حل معادلة الدرجة الاولى في مجهول واحد( المعادلة البسيطة)


لو نظرنا الى المثال الاتى :
س + 4 = 7 يمكن ترجمة هذه المعادلة الى السؤال التالي:

ما هو العدد المجهول الذي اذا اضيف الى العدد 4 كان الناتج 7 ?

اعتقد انك ستتوصل الى الاجابة بسرعة ... نعم ... العدد هو 3 ( لاحظ ان المجهول هنا هو الرمز س).

حسنا ... سأعطيك مثال اخر و هو : 3س =15

انت تعلم عزيزى الطالب ان 3س تعنى ان العدد 3 مضروب فى الرمز س كما درست فى باب الحدود الجبرية، و بذلك يمكننا ان نترجم المعادلة الى السؤال التالي :

ما هو العدد المجهول الذي اذا ضربناه فى العدد 3 كان الناتج هو العدد 15 ?

طبعا ستكون اجابتك هي العدد 5 .

و لكن ....الموضوع لن يسير بهذه البساطة دائما....

ما رأيك ان نجعل السؤال اصعب بعض الشىء ? و نكتب هذا المثال:

ما هو حل المعادلة 6 س +39 = -9 ?

و هذه المعادلة تعني ما هو العدد الذي اذا ضرب في العدد 6 و اضيف الناتج الى العدد 39 كان الناتج -9 ؟

اعتقد ان اجابتك ستستغرق بعض الوقت؟

لذلك كان لا بد من وضع طرق محددة نستخدمها لحل المعادلات هذه الطرق تسمى الطرق الجبرية ، بها نستطيع ان نحل اي معادلة من الدرجة الاولى ايا كانت مدى صعوبتها.

ما رايك ان نقوم الان بشرح طرق حل معادلة الدرجة الاولى فى مجهول واحد ? و فى نهاية الدرس نحل معا المعادلة السابقة.

حل معادلة الدرجة الاولى باستخدام الاضافة:

و نستخدم هذه الطريقة عندما نريد التخلص من العدد المجموع أو المطروح من المجهول و ذلك باضافة المعكوس الجمعي لهذا العدد الى طرفي المعادلة .

ملحوظة هامة:

عند حل اي معادلة بسيطة نبحث عن مكان المجهول فيها ، بمعنى الطرف الذي يوجد به س هل هو الطرف الايمن ام الطرف الايسر و نحاول ان نتخلص من الاعداد الموجودة فى هذذا الطرف.

مثلا:

لحل المعادلة س +4 =7 نتبع الاتى:

نتخلص من العدد الموجود مع المجهول (س) فى الطرف الايمن و هو هنا العدد 4

اذا س +4 -4 =7 -4 باضافة المعكوس الجمعى للعدد 4 للطرفين

اذا س + 0 = 3

اذا س=3

اذا مجموعة الحل = {3}

مثال:

حل المعادلة س -2 = 7

الحل

بما ان س - 2= 7

اذا س = 7 + 2 باضافة المعكوس الجمعى للعدد -2 للطرفين

اذا س = 9

(((((في أعينهم ............عن عالم الرياضيات)))))



(((((في أعينهم ............عن عالم الرياضيات)))))

· عالم الرياضيات هو كرجل أعمى يبحث في غرفة مظلمة عن قطة سوداء، والقطة ليست فيالغرفة. (تشارلز داروين)

· الرياضيات كتبت ليفهمها عالم الرياضيات فقط. (نيكولاس كوبرنيكوس عالم فضاء(
· تعلمنا الرقم (1)، وبالتالي كان من السهلعلينا تعلم الرقم (2) لأن: (1+1=2)، ولكننا بعد ذلك اكتشفنا أن المسألة أكبر من ذلكبكثير. (سير/ آرثر إدينجتون عالم فيزياء(
· بقدر ما تشير الحقائق الرياضيةللواقع بقدر ما تكون غير مؤكدة، وبقدر ما تكون مؤكدة بقدر ما تكون غير واقعية. (آلبرت آينشتاي(
· قوانين الاحتمال: فعلية في عمومها، لا أساس لها منالصحة في جزئياتها. (إدوارد جيبون مؤرخ بريطاني(
· نحن معشر الرياضيين دائماًما تجد لدينا مسحة من الجنون. (ليف لاندوا عالم فيزياء)

· الرياضيات علم صغيرجداً، بحجم علم النحو بالنسبة للغة. (ارنست ماير عالم أحياء(
· تحتوي الرياضياتعلى كثير من الأشياء التي لن يضرك معرفتها ولا حتى عدم معرفتها. (جاي.بي.مينكن(
· الرياضيات هي محاولة إعطاء نفس الأشياء مسميات مختلفة (جولز هنري عالمرياضيات وفيلسوف(
· في حياتنا شيئان مهمان: أن نتعلم الرياضيات وأن ندرِسالرياضيات. (سيمون دونيس عالم رياضيات وفيزياء(
· الرياضيات كانت أسوأ الموادالتي درستها. لم يستطع أساتذتي اكتشاف أن إجاباتي كان يقصد بها السخرية من الأسئلة)كالفن تريلين كاتب صحفي(
· من أخطر الكلمات التي يمكنك أن تجدها في الرياضياتكلمة: واضح. (بيل، غيريك تمبل عالم ومدرس رياضيات(

· الرياضيات مثل الزواج،كلاهما يبدأ بفكرة بسيطة في البداية ولكنه يتعقد بعد ذلك. (درابك(

تعريف علـم الرياضيات...

تعريف علم الرياضيات

عرّف علماء الرياضيات هذا العلم بعدة تعريفات هي على النحو التالي :

• عرّفه بعضهم فقال : هو علم تراكمي البنيان ( المعرفة التالية تعتمد على معرفة سابقة ) يتعامل مع العقل البشري بصورة مباشرة وغير مباشرة ويتكون من أسس ومفاهيم - قواعد ونظريات – عمليات – حل مسائل ( حل مشكلات ) وبرهان يتعامل مع الأرقام والرموز ويعتبر رياضة للعقل البشري . حيث تتم المعرفة فيه وفقا لاقتناع منطقي للعقل يتم قبل أو بعد حفظ القاعدة ، ويقاس تمكن لدارس من علم الرياضيات بقدرته ونجاحه في حل المسالة ( المشكلة ) وتقديم البرهان المناسب

• وعرّفها بعضهم فقال :تعرف '''[[الرياضيات]]''' على أنها دراسة البنية، الفضاء، و التغير، و بشكل عام على أنها دراسة البنى المجردة باستخدام المنطق و التدوين الرياضي. و بشكل أكثر عمومية، تعرف الرياضيات على أنها دراسة الأعداد و أنماطها.

البنى الرياضية التي يدرسها الرياضيون غالبا ما يعود أصلها إلى العلوم الطبيعية، و خاصة [[فيزياء|الفيزياء]]، ولكن الرياضيين يقومون بتعريف و دراسة بنى أخرى لأغراض رياضية بحتة، لان هذه البنى قد توفر تعميما لحقول أخرى من الرياضيات مثلا، أو أن تكون عاملا مساعدا في حسابات معينة، و أخيرا فان الرياضيين قد يدرسون حقولا معينة من الرياضيات لتحمسهم لها، معتبرين أن الرياضيات هي [[فن]] و ليس علما تطبيقيا.

• وعرفه بعضهم فقال :إنه علم تراكمي البنيان (المعرفة التالية تعتمد على معرفة سابقه ) ... .يتعامل مع العقل البشري بصورة مباشرة وغير مباشرة .. ويتكون من :أسس ومفاهيم – قواعد ونظريات – عمليات –حل مسائل (حل مشكلات ) وبرهان .. ويتعامل مع الأرقام والرموز . ويعتبر رياضة للعقل البشري

حيث تتم المعرفة فيه وفقا لاقتناع منطقي للعقل . .. يتم قبل أو بعد حفظ القاعدة ويقاس تمكن الدارس من علم الرياضيات بقدرته ونجاحه في حل المسألة (المشكلة) وتقديم البرهان المناسب ".

المبحث الثاني / صفات علم الرياضيات 0

تتصف الرياضيات بصفات معينة تجعلها مختلفة أكثر من المواضيع الأخرى , كما تجعلها بحاجة للمزيد من الجهد والمثابرة من أجل استيعابها .

أوّلا : الصفة التجريدية , من المعروف أنّ مادة الرياضيات التي يتمّ التعامل بها من خواص وعلاقات ليست بذي وجود مادي محسوس بخلاف المواد التي تتعامل بها الفيزياء والكيمياء مثلاً , أي أنّ مادة الرياضيات هي الأمور المجرّدة التي تتعامل بالرموز والمعادلات المجرّدة أيضا . أمّا الدلالات - مثل : الرموز الرياضية , الأشكال , التمثيلات البيانية - فإنها تلعب دورا هاما في الرياضيات وتُعد مصدر الاستيعاب في الرياضيات .

ثانيا : التسلسل في الرياضيات , أي أنّ كل فقرة تعتمد على ما سبقها من فقرات , أي أنّ فهم واستيعاب أي موضوع فرعي أو فكرة تعتمد بصورة ما على درجة فهم واستيعاب المواضيع التي قبلها .

الصفة الثالثة : هي أن تعلّم الرياضيات يكون أكثر اعتمادا على المعلّم من أيّ موضوع آخر , حيث أنّه لم يكن هناك الكثير مما يمكن اكتشافه عند عمل التلميذ لوحده .

الصفة الأخيرة : أنه في بعض مجالات الرياضيات خاصة تلك المتصلة بالتعامل مع الأعداد فإنه من الممكن

للتلميذ الأداء بشكل جيد دون حاجة للفهم الذي يستعمل في التعلّم لاحقا , لذا فإنّ المشاكل غالباً لا تلاحظ

المبحث الثالث /الأسس والأصول التي قام عليها علم الرياضيات



يتأسس البرهان الرياضي عند إقليدس على :

أ -) التعريفات : هي التي يتم بواسطتها وضع و تحديد المفاهيم والتصورات الأولية التي تشكل المادة الخام لدراسة الرياضيات .

ب -) المسلَّمات : وهي القضايا التي يفترضها العالم ويضعها كأساس ينطلق منه في عملية البرهنة دون أن يقيم عليها برهاناً

جـ -) البديهيات : وهي القضايا الواضحة التي تستمد صدقها من ذاتها ولا تحتاج إلى برهنة .

3_) الهندسة الإقليدية و ظهور الهندسات اللاإقليدية :

كان ينظر إلى هندسة إقليدس وإلى نتائجها على أنها صادقة صدقا مطلقا ,وأنها الهندسة الوحيدة الممكنة. إلا أن كون المسلمة الخامسة لإقليدس والتي تقول :"من نقطة خارج خط مستقيم لا يمر إلا خط مستقيم وحيد يوازيه" كون هذه المسلمة لم تتم البرهنة عليها منذ البداية جعلها توضع موضع شك من طرف العلماء .وعندما حاول كل من ريمان( الألماني ) ولوبتشفسكي ( الروسي ) البرهنة على هذه المسلمة ، خلص كل منهما إلى هندسة أخرى تختلف عن هندسة الآخر وعن هندسة إقليدس . وسميت هذه الهندسات بالهندسات اللاإقليدية .وظهور هذه الهندسات كان له دور أساسي في توجيه أول ضربة لليقين المطلق لمبادئ ونتائج البرهان الاستنتاجي في الرياضيات

4 -) أزمة الأسس في الرياضيات إن أزمة اليقين الرياضي التي نتجت عن ظهور هندسيات لاإقليدية مسَّت أيضا المنهج الاستنتاجي الذي اعتمدته الرياضيات حتى النصف الأول من القرن التاسع عشر وهذه الأزمة مسَّت مجالات أخرى في الرياضيات كالجبر ، ففي إطار نظرية المجموعات ظهر أن البديهية الكل اكبر من الجزء ليست صادقة صدقا مطلقا كما كان يعتقد،إذ ظهر أن الجزء يمكن أن يكون مساوياً للكل أو أن يكون اكبر من الكل .

كما ظهرت كذلك بعض الأعداد الخيالية ( ت )والتي أدت إليها بعض المعادلات وهذا كله أدى إلى ظهور منهج جديد في الرياضيات هو المنهج الفرضـــي الاستنتاجي .

5 -) المنهج الفرضي الاستنتاجي / في هذا المنهج لم يعد ينظر إلى المبادئ والأسس التي يقوم عليها البرهان الرياضي على أنها صادقة أو غير صادقة ، بل

أصبحت تعتبر فقط مجرد فرضيات تخضع لعدة شروط منها الوضوح وعدم إثارة الاختلاف وان تكون مستقلة عن بعضها البعض ، والتي يهم في النسق الاكسيومي الناتج عن هذه الفرضيات وهو طابع النظام والاتساق الداخلي المنطقي وخلوه من التناقض . ويكون صدق النتائج في المنهج الفرضي الاستنباطي صدقاً صورياً ، حيث أن الوصول إليها تم دون التناقض مع الأولويات التي تم الانطلاق منها .

المبحث الرابع / أهمية الرياضيات ، وارتباط العلوم الأخرى بها

لم يكن ثمة موضوع أثار ردود فعل سلبية أو أنّه فُهم بشكل خاطئ كالذي فعلته الرياضيات , و على الرغم من أهميتها في التطور العلمي والتكنولوجي - يقال أنّ اختراع الطائرات لم يكن ليكتمل لولا علمي التفاضل والتكامل - إلاّ أنّ العديد من الأفراد لا يرونها علما من العلوم الحيوية و بشكل عام فإن النظرة العامّة لهذه المادّة سلبية دائما وتتجه نحو القلق والنفور و الخوف .

لقد قسّم فلاسفة اليونان العلم إلى 3 أقسام :

1- العلم الإلهي .

2 - العلم الطبيعي .

3- العلم الرياضي .

فالعلم الذي يطلب فيه كميات الأشياء هو العلم الرياضي , سواء كانت الكميّات مجرّدة من المادة , أو كانت مخالطة لها .

إن الرياضيات من العلوم الهامة والتي لا يستغني عنها أي فرد مهما كانت ثقافته أو كان عمره بعد عمر التمييز لأنها تشغل حيزا مهما في الحياة مهما كانت درجة رقيها.

فالرياضيات في المجتمع تأخذ أهميتها النسبية من مجتمع لآخر تبعاً لتقدم هذا المجتمع وتعقد حياته التي تحتاج إلى وسيلة لكثير من الأمور كالقياس والترتيب وبيان الكميات والمقادير والأزمان والمسافات والحجوم والأوزان والأموال وغيرها.

وأول علوم الرياضيات ظهورا ما يمكن إن نطلق عليه الحساب وهذا العلم استخدمته الحضارات المختلفة في حياتها ومن بين تلك الحضارات الحضارة الإسلامية التي كان لعلم الحساب اثر واضح في تجارة المسلمين اليومية وأحكامهم الشرعية ومن ذلك عدم الزيادة والنقصان في كثير من المعاملات لا يعرف ذلك إلا بالحساب ومن ذلك معرفة الربا ومقداره لان كل زيادة على أصل المال من غير تبايع فهي ربا.

ومن علوم الرياضيات والتي نبغ فيها المسلمون علم الجبر والذي يحتاجه الناس في معاملاتهم ومن ذلك معرفة المواريث المعروف بعلم الفرائض ولا يعرف حل مسائل المواريث إلا بالرياضيات .

والأمر لا يقف عند التجارة والمواريث والربا وغير ذلك بل إن تحديد أوقات الصلاة التي تختلف حسب المواقع ومن يوم إلى آخر يحتاج إلى الحساب الذي يحتاج إلى معرفة الموقع الجغرافي وحركة الشمس في البروج وأحوال الشفق الأساسية كل ذلك بالحساب يمكن تحديد وقت الصلاة في كل بلد

إن معرفة جهة القبلة والأهله وبخاصة هلال رمضان يحتاج إلى حسابات خاصة وطرق متناهية في الدقة ولا يتأتي ذلك إلا بالرياضيات وقد فاق المسلمون اقرأنهم من الهنود واليونان في معرفة كل ما يتعلق بالشهور ومطالع الأهلة

ونظرا لحاجة المسلمين للحسابات الدقيقة والمتعلقة بالأمور الدينية من عبادات وغيرها شجع الخلفاء ومنهم الخليفة العباسي أبو جعفر المنصور المترجمين والعلماء على الاهتمام بعلم الفلك وخصص اعتمادات كبيرة من المال للعناية بذلك لمعرفة البروج وعروض البلدان وحركة الشمس والانقلابان الربيعي والخريفي والليل والنهار وحركات القمر وحسابها والخسوف والكسوف والنجوم الثابتة والكواكب المتحركة

وتشمل الرياضيات فرع هام وهو حساب المثلثات الوثيق الصلة بالجبر الذي أخذه الأوربيون عن المسلمين وتظهر أهمية الرياضيات وعلم المثلثات بصورة خاصة في قياس المساحات الكبيرة والمسافات الطويلة بطريقة غير مباشرة كقياس ارتفاع جبل أو البعد بين جبلين أو عرض نهر وغيرها حتى قياس طول السنة الشمسية يعرف برصد ارتفاع الشمس

والرياضيات لها أهمية في حياة المجتمع بمعرفة الحجوم وحساب الكميات وغيره فالهندسة علم مهم يدرس الحجم والمساحة وهو فرع من فروع الرياضيات التي تتعامل مع النقطة والخط والسطح والفضاء

مما سبق يمكن القول إن الرياضيات بكل فروعها لها أهمية في حياة المجتمع اليومية وتصريف وتنظيم أمور معاشهم وحل ما يقع بينهم من أمور تحتاج للحساب وتحديد ما لهم وما عليهم من أمور مادية

كما إن الرياضيات مهمة في تسهيل أمور المجتمع في عباداتهم وتحديد ما عليهم من واجبات مالية ويظهر ذلك في تحديد الزكاة وغيرها

كما ان الرياضيات مهمة في معرفة المساحات والحجوم والمقادير والأبعاد وغيرها

فالرياضيات علم لا يستغنى عنه في الحياة بل نستطيع القول إن الرياضيات سهلت الحياة في كثير من جوانبها ونغصت الحياة لأنها كانت أيضا سببا في اختراع كثير من أدوات الدمار فالرياضيات سلاح ذو حدين في الحياة .

فالرياضيات علم هام لم ينل ما يستحقه من الاهتمام فهو بحق ذلك الجندي المجهول في كل إنجاز علمي ذي بال فعلماء النفس المعاصرون يستعينون بالرياضيات لبناء نماذج لدراسة عمليات التعلم والاقتصاديون يعتمدون عليها في فهم العلاقة بين الاستهلاك في الاقتصاد الراهن القائم على المنافسة، وشركات الأعمال تطبق التفكير الرياضي الدقيق على مسائل الإدارة والتخزين والإنتاج والمهندسون يعتمدون على الرياضيات في وضع النماذج و التصاميم الهندسية ومحاكاة الواقع.

وعلى الرغم من محافظة الرياضيات على مسلماتها القائمة منذ آلاف السنين فقد استجابت لأخطر التحديات العلمية والتقنية المعاصرة، بل بعثت التطورات في علوم الحاسب الآلي والطب والإحياء والاقتصاد والمواصلات والاتصال وحماية البيئة وغزو الفضاء نشاطا عارما في الرياضيات التي يمكن أن نعتبرها أم العلوم الأساسية ولغة التقنية الحديثة.

وبناء عليه فإن الرياضيات تعتبر بحق العمود الفقري لتطور العلوم على اختلاف أنواعها وشعبها كما تشهد لها بذلك حاجة العلوم الأخرى ، إذ لا نكاد نتصور ازدهارا معتبرا في شتى الميادين إلا بقدر ما نستحوذ عليه ونستوعبه في فروع الرياضيات.

لا شك أن التقدم العلمي قد أضحى أمرا أساسيا في نمو المجتمعات المعاصرة أكثر مما مضى فهو يدفعها إلى التفوق في الركب الحضاري ويؤهلها للتنافس والتدرج وبغيره تخر الأسس وتضمحل القواعد.

ولعل من أهم الأسباب لهذا التقدم تواصل المعارف والخبرات بين الأجيال وتطويرها في شتى المجالات وذلك من أجل المساهمة الفعالة والبناءة في رفع التحديات العلمية والتقنية المتعددة والمتزايدة أمام البلاد0



ما هو علم الرياضيات؟!

ما هو علم الرياضيات؟
يمكن أن توصف الرياضيات بطرق عديدة. من خلال الحياة اليومية غالباً ما تعني الرياضيات العد والحساب. فمن الممكن على سبيل المثال أن تكون عملية حسابية تقريبية عندما يتسوّق المرء طعاماً من المحلات أو عندما يقوم المرء بالخياطة وقياس القماش أو مقارنة بين أشياء متنوعة المقاييس والمعايير غالباً ما تكون معقدة الشروط.نستعمل الرياضيات يومياً، غالباً دون الانتباه إلى ذلك في حل مسائل صغيرة أو كبيرة سواء في العمل أو في الحياة اليومية.
 هذه الأهرامات القوية لم تكن لتوجد و تبنى دون كفاءة علم الرياضيات المتطور.
الشواهد التاريخية تؤكد أن علم الرياضيات كان دائماً مركزًا بالنسبة لحياة البشر. للتمكن على سبيل المثال من استمرار عملية التجارة وتقسيم البلاد وبناء مدن سكنية احتيج لعلم الرياضيات كأداة هامة.
فمن غير الممكن أن نتخيل تطوّر المجتمع دون الرياضيات. فالرياضيات موجودة في كل مكان حولنا غالباً بشكلٍ غير مرئي في عالمنا المحيط. فخلف تخطيط المدن وفن العمارة والآلات والأجهزة، توجد دائماً حسابات رياضية.
 
كل الكهربائيات على سبيل المثال في الحاسوب (الكمبيوتر) وفي التليفون النقال (الموبيل) تبنى بطريقة حسابية معقدة.
الصورة توضح إحدى المنظومات الكهربائية التي تستطيع نقل ملايين العمليات كل لحظة.
 
يمكن أن توصف الرياضيات كعلم لحل المسائل وتطوير النظريات في هذه الحالة ينظر للرياضيات عادة كلغة عالمية ذات رموز وقوانين مشتركة بغض النظر عن بلد المنشأ حيث يستطيع علماء الرياضيات فهم بعضهم البعض من خلال لغة الرياضيات. الرياضيات علم حي والذي لحد الآن يٌطوّر من قبل آلاف الباحثين في كل أنحاء العالم. بالإضافة إلى ما ذكرناه سابقاً بقي علم الرياضيات بسبب مرونته العملية. يرى الكثير أن للرياضيات قيمتها الخاصة تلك القيمة التي تعمل من أجل الرياضيات حيث تتناول بانتظام تنشيط الوقائع الحياتية بشكل مدهش وجميل.
 
  
Fraktalهذه الصورة مثالاً للانقسام العددي يظهر كيف يمكن للرياضيات أن تشكل صورة جميلة.
 تتكون الرياضيات من فروع علمية مختلفة متنوعة، من ضمنها علم الحساب  والجبر والهندسة  والإحصاء وعلم الدالة. هذه العلوم تدخل ضمن دورات الرياضيات للمستوى Aفي المدارس الثانوية (الإعدادية). دراسة هذا النوع من الرياضيات  يتطلب أكثر من أن تحسب فقط. فمن المُتوقع أنك ستُترجم وتٌفسر المسألة  وتجرب وتحاول رؤية النماذج المعطاة ومن ثمّ  تُحلل وتُقيّم وتتباحث وتفكر تفكيراً منطقياً، ثمّ تشرح وتجادل وتعرض وتقدم تقريراً عن كل ما سبق. تستطيع أن تقرأ عن الرياضيات بشكل عام وعن رياضياتA بشكل أخص في هذه الوثائق الرئيسية حيث تبين هذه الوثائق على سبيل المثال هدف هذه الدورات ومقاييس الدرجات والعلامات. الأسباب التي تذكر عادة لدراسة الرياضيات على سبيل المثال:
  • أن يُستعد بشكل جيد لمواجهة الدراسات المستقبلية وكذلك الحياة اليومية والعملية.
  • أن يكون للمرء معلومات عامة أساسية تُسهّل عليه اجتياز الأمور المستقبلية بنجاح.
  • أن يكون عضواً اجتماعياً فعالاً في الديمقراطية.
  • أن يكون للمرء القابلية على تفحُص المعلومات بصورة نقدية والتي يتلقاها عبر وسائل الإعلام والدعايات والسياسة.
  • أن يطوّر قدراته الذهنية لأفكار متجانسة ومسائل حسابية.
  • أن يضع جهده في فعالية تحفيزية مشوقة و ممتعة.

الأربعاء، 24 نوفمبر، 2010

الجذر التكعيبـي..


الجَذْر التكعِيبي واحد من ثلاثة عوامل متساوية لعدد ما. انظر: العامل الحسابي.
وإذا ضُرِب هذا العدد (م) في نفسه ثلاث مرات فإنه يُكوّن الجَذْر التكعِيبي لعدد آخر (ن) . وهكذا م × م × م = ن.
فالعدد 2 مثلاً هو الجذر التكعيبي للعدد 8 لأن 2×2×2 = 8 و - 5 هو الجذر التكعيبي للعدد (-125). لأن -5 × -5 × -5 = - 125.
والعدد الصحيح له أيضا جذر تكعيبي صحيح واحد، وقد يكون موجبًا أو سالبًا متطابقًا في ذلك مع الإشارة الموجبة أو السالبة للعدد. ويوضع رمز آخر أمام العدد ليوضح أن المطلوب هو استخراج جَذْرِه أو تحديده. وهذا الرمز يُكتب هكذا ¬ ويسمى علامة الجذر. وإذا كان الجذر المراد استخراجه جذرًا تكعيبيًا فإن عددًا صغيرًا 3 يوضع فوق علامة الجذر. إذن §¬8 تعني أن المطلوب هو استخراج الجذر التكعيبي للعدد 8.

استخراج الجذر التكعيبي باستعمال الجداول. لعل أسهل طريقة لإيجاد الجذر التكعيبي هي استعمال جداول الجذر التكعيبي أو جداول اللوغاريتمات. وتمدنا هذه الجداول بإجابات صحيحة دون الخوض في عمليات حسابية مملة. وليست لهذه الأعداد في الغالب جذور تكعيبية دقيقة وتكون الجداول مفيدة في هذه الحالات بصفة خاصة.

إيجاد الجذر التكعيبي حسابيا. قد تكون الجداول متوافرة أحيانا وقد تكون غير متوافرة إلا أنها غير دقيقة بما فيه الكفاية لحالة بعينها. وفي مثل هذه الحالة على الشخص أن يجري عملياته الحسابية بنفسه.
وهناك طريقة تعرف بطريقة نيوتن وهي طريقة يسهل تطبيقها باستخدام الآلة الحاسبة. وتُتبع هذه الطريقة لإيجاد الجذر التكعيبي لأي عدد من 1 إلى 1000. فعلى سبيل المثال: قد يرغب شخص في إيجاد الجذر التكعيبي لـ200. وبما أن 5 × 5 × 5 = 125و 6 × 6 × 6 = 216 فمن اليسير أن نتبين أن 6 هو أقرب جذر تكعيبي صحيح للعدد 200. ويمكن إيجاد التقدير التقريبي للجذر التكعيبي بإن نقسم العدد 200 على مربع 6 أي 6 × 6 الذي يساوي 36. وإذا قربت هذا إلى أقرب نسبة عشرية يكون الحاصل 6,5 وهكذا فإن 6 × 6 × 6,5 يساوي 200 تقريبا.
ولكي تحصل على التقريب الثاني للجذر التكعيبي للعدد 200 أوجد متوسط العوامل الثلاثة 6و6و6,5 وهذا يعطيك:
(6 + 6 + 6,5) ÷ 3 = 5,9
كرّر هذه العملية حتى تحصل على عدد أقرب إلى الجذر التكعيبي من الأعداد السابقة.
وهكذافإن
200 ÷ (5,9 × 5,9 ) = 200 ÷ 34,81 = 5,74
وتحصل على التقريب التالي هكذا:
(5,9 + 5,9 + 5,74) ÷ 3 = 5,85 وعند إعادة العملية مرة أخرى يكون الحاصل 200 ÷ (5,85 × 5,85) = 200 ÷ 34,2225 = 5,8441
وهذا يعطيك التقريب التالي هكذا:
(5,85 + 5,85 + 5,8441) ÷ 3 = 5,8480.
ويمكن الاستمرار في هذه العملية إلى مالا نهاية وفي كل تقريب يلي التقريب الثاني يكون لديك عدد من الأرقام أقل برقم واحد من ضعف عدد الأرقام في التقريب السابق. فمثلا التقريب الثاني 9,5 يحتوي على رقمين ويحتوي الثالث على ثلاثة أرقام ويحتوي التقريب الرابع على خمسة أرقام .
وإذا كان العدد الذي ترغب في إيجاد مكعبه لا يقع بين 1 و 1000 فإنك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على 1000 حتى يقع في هذا النطاق. وسيكون الجذر التكعيبي بين 1و10. وبعد إيجاد الجذر التكعيبي، عليك إما أن تضربه أو تقسمه على التوالي على العدد 10 وأن تكرر ذلك إذا لزم الأمر حتيى تحصل على الجذر الكتعيبي للعدد الأصلي.
انظر أيضًا : المكعب؛ اللوغاريتمات؛ الجذر.

الاثنين، 22 نوفمبر، 2010

الرياضيات في العصر العباسي

الحساب

تمكن علماء المسلمين من ابتكار نظامين لكتابة الأرقام.
  • النظام الأول: ويسمى بالأرقام الغبارية، وسميت بذلك؛ لأنهم كانوا يذرون غبارًا خفيفًا على الألواح ثم يخطون فوق هذا الغبار بالأرقام. وهذه الأرقام تقوم فى أساسها على الزوايا وهى: 9876543210، التى تنتشر فى المغرب العربى بما فى ذلك الأندلس، ومنها دخلت إلى أوربا وسميت بالأرقام العربية.
  • النظام الثاني: وهو الأرقام الهندية، وهى الطريقة المتوارثة المنتشرة فى الأقطار الإسلامية والعربية المشرقية إلى الآن. كما ابتكر المسلمون مفهوم "الصفر" الذى سهل العمليات الحسابية تسهيلا لا حدود له، وعرفوه بأنه: "المكان الخالى من أى شىء". وقد أخذه الأوربيون باسمه العربي وتداولوه فى مختلف لغاتهم، فقال الإنجليز: "Cipher"، وقال الفرنسيون: "Chiffre"، وقال الألمان:"Ziffer"، وسرعان ما خضع لعوامل التغيير اللغوى وصار: "Zero". ويقول الدكتور"كارل بوير" فى كتابه "تاريخ الرياضيات": "إنه بدون اكتشاف العرب للأعداد العربية كان من الممكن أن تكون الرياضيات الآن فى مهدها، ولكن بواسطتها استطاع الإنسان أن يخترع، وأن يعرف الطبيعة بأكملها".
ولقد قسم المسلمون الأعداد العربية إلى قسمين أساسين هما: زوجى، وفردى. وعرفوا كلا منهما، كما بحثوا فى أنواعها ونظرياتها، وفى ذلك قالوا: "ما من عدد إلا وله خاصية أو عدة خواص، لا يشاركه فيها غيره". ولم يقف المسلمون عند هذا الحد، بل بحثوا فى النسبة والمتواليات وقسموها إلى ثلاثة أنواع:
  • 1- المتواليات العددية.
  • 2- المتواليات الهندسية.
  • 3- المتواليات التوافقية أو التأليفية.
وكشفوا عن بعض حقائق النسبة فيما يتعلق بالأبعاد والأثقال، وكيفية استخراج الأنغام والألحان من النسبة التأليفية. وقد بسط "إخوان الصفا" فى القرن الرابع الهجرى القول فى ذلك، حيث ذكروا فى رسائلهم: "إن علم النسبة علم شريف جليل، وإن الحكماء جميع ما وضعوه من تأليف حكمتهم فعلى هذا الأصل أسسوه وأحكموه، وقضوا لهذا العلم بالفضل على سائر العلوم، إذ كانت كلها محتاجة إلى أن تكون مبنية عليه، ولولا ذلك لم يصح عمل، ولا صناعة، ولاثبت شىء من الموجودات على الحال الأفضل". أما فيما يتعلق بالتناسب، وطريقة استخراج المجهول، فقد أبدعوا أيما إبداع، لقد أوضحوا استخراج المجهولات بالأربعة المتناسبة، وبحساب الخطأين، وبطريقة التحليل والتعاكس، وبطريقةالجبر. كما ابتكر المسلمون طرقًا جديدة فى العمليات الحسابية حملت اسم المسلمين. ومما لا شك فيه أن المسلمين هم مبتدعو الكسر العشرى بما هو عليه الآن من ابتكار الخط المستقيم الفاصل بين البسط والمقام. ويقول فى ذلك الأستاذ الكبير "لويس كارينكى" فى كتابه "المؤثرات على تاريخ العلوم": "إن الكسر الاعتيادى واستعماله كما هو الآن من المعالم التاريخية التى يجب أن يفخر بها المسلمون"، ويقول العالم الرياضى المشهور "ل. فودستين" فى مقالة بعنوان "الاعداد العربية": "إن وصول الرياضيات لما هى عليه الآن يرجع إلى ابتكار المسلمين لعملياتهم الحسابية العظيمة". ومن الكتب التى وضعت فى الحساب:
كتاب للخوارزمى يعتبر الأول فى نوعه من حيث التبويب والمادة العلمية، كما يعتبر أول كتاب فى الحساب نقله الأوربيون إلى لغاتهم، واستمر زمنًا طويلا مرجعًا هامًا للعلماء والتجار والمحاسبين، ويدل الكتاب على أن المسلمين ابتكروا كثيرًا من المسائل التى تشحذ الذهن وتقوى التفكير، كما أنه يعكس الأسلوب المتميز الذى اتبعوه فى إجراء العمليات الحسابية بحيث كانوا يوردون لكل عملية حسابية طرقًا متعددة تتمشى مع مراحل النمو. ومن الطريف أن علماء التربية الحديثة أوصوا باستخدام "خوارزمية الضرب بطريقة الشبكة" فى المدارس الابتدائية لسهولة فهمها ومقدرة طلاب هذه المرحلة على استيعابها. وكتاب "الباهر" فى الحساب والجبر وعلاقتهما بالهندسة للسموأل بن يحيى المغربى، وقد نشرت مخطوطة هذا الكتاب حديثًا فى سوريا، وهو كتاب يعرف بعالم رياضى جليل يحتل مكانة عالية بين علماء العرب والمسلمين.
وهناك كتب كثيرة أخرى لاتقل أهمية عن ذلك مثل: كتاب "الجامع فى أصول الحساب" للحسن بن الهيثم، وكتاب "المقنع فى الحساب" للقاضى النسوى، وكتب "الفخرى" و"الكافى" و"البديع" لأبى بكر الكرجى، وغيرها. كذلك لعبت بعض المؤلفات فى علم الحساب دورًا هامًا فى الكشف عن اللوغاريتمات ووضع جداولها التى أصبحت عظيمة الفائدة فى تسهيل حل المسائل المتضمنة أعدادًا كبيرة وتقوم فكرتها أساسًا على استبدال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، ومعرفة الصلة بين حدود المتواليات الهندسية وحدود المتوالية العددية. ومن هذه المؤلفات كتاب "الجمع والتفريق" لسنان بن الفتح الحرانى الذى شرح فيه كيفية إجراء عمليات الضرب والقسمة بواسطة عمليات الجمع والطرح. واستطاع ابن يونس المصرى أن يتوصل إلى إيجاد القانون الأتى:
جتا س جتا ص = ½ جتا (س+ص) +½ جتا (س-ص). وكان لهذا القانون قيمة كبيرة عند علماء الفلك قبل اكتشاف اللوغاريتمات؛ إذ يسهل حلول كثير من المسائل الطويلة المعقدة. ومازالت فى أوربا جداول اللوغاريتمات المعروفة فى عصرنا تحمل اسم الخوارزمى أو "الغوريتمى".

علم الجبر

سرعان ما طرق المسلمون باب التاريخ وسجلوا لأول مرة "علم الجبر" وعنهم أخذ العالم هذه الكلمة"Algebra"" بأبعادها العلمية، حتى يقول "كاجورى": إن العقل ليدهش عندما يرى ما قدمه المسلمون فى علم الجبر، لانهم فى الحقيقة قدموه فى صورة علمية ناضجة، سار على منوالهم فيها جميع الدارسين للرياضيات. وكان كتاب "الجبر والمقابلة" للخوارزمى هو مصدرهم الاساسى، ويعد الخوارزمى أول من استنبط هذا العلم واستخرجه، وقد أورد فيه 800 مثالاً، ونقله إلى اللاتينية "جيرار الكريمونى" خلال القرن (12م)، فاعتمدت عليه جامعات أوربا حتى القرن(16م) وبواسطته عرفت أوربا مبادئ علم الجبر. كما توصل ثابت بن قرة إلى حجم الجسم المكافئ؛ ولهذا يعتبره كثير من الرياضيين مبتكرعلم التفاضل والتكامل. وكتب البروفيسور "ديفيد سميث" فى كتابه "تاريخ الرياضيات": "إن ثابت بن قرة، صاحب الفضل فى اكتشاف علم التفاضل والتكامل؛ حيث أوجد حجم الجسم المكافئ، وذلك فى عام (256هـ). ومن المعروف أن علم التفاضل والتكامل أعان على حل عدد كبير من المسائل الصعبة والعمليات الملتوية". وتقدم عمر الخيام بعلم الجبر خطوات إلى الأمام، وله كتاب نشر حديثًا بأمريكا سنة (1932م)، غير كتبه الأخرى المترجمة إلى اللغات الاجنبية وخاصة الفرنسية، وقد تميز كتابه فى الجبر عن كتاب الخوارزمى، وطور المعادلات الجبرية من الدرجة الثالثة والرابعة بواسطة قطع المخروط، وهو أرقى ما وصل إليه المسلمون فى الجبر، بل هو أرقى ما وصل إليه علماء الرياضيات فى حل المعادلات فى الوقت الحاضر. كما كان لكتاب الجبر والمقابلة للخوارزمى شروح عديدة قام بها الكثير من علماء المسلمين الذين اهتموا بتطوير هذا العلم والتأليف فيه والإضافة إليه، مثل: أبي الوفاء البوزجانى ، وأبي بكر الكرخي، والسموأل المغربي، وعبد الله بن الحسن الحاسب، وغيرهم.

علم الهندسة

تعتبر الهندسة من أبرز شواهد الحضارة الإنسانية وتطورها، وللمسلمين فيها باع طويل، فقد حفظوها من الضياع طوال العصور الوسطى، وأسلموها إلى أوربا لتبنى عليها، واستخدموا الجبر فى بيان أوجهها، وشرحوا، وفرعوا، وأضافوا إضافات جديدة، كأسس الهندسة التحليلية، ولا يخفى أن الرياضيات الحديثة تبدأ منها، وترجموا كثيرًا من الكتب لإقليدس وبطليموس وأرشميدس. ثم تصدى لشرح كتاب إقليدس وبرهان مسلماته كثيرون مثل: البيروني، والحسن ابن الهيثم، وعمر الخيام، وغيرهم كما تطرقوا إلى قضايا وبحوث جديدة لم يتناولها إقليدس.
وكان كتاب ابن الهيثم "شرح مصادرات إقليدس" الذى عنى بالمسلمات، وكتابه "حل شكوك إقليدس فى الأصول وشرح معانيه" من أهم المؤلفات التى أثارت العديد من المجادلات والمناقشات العلمية، وفتحت الباب لمزيد من التأليف فى هذا المجال. وبقيت أوربا تستعمل فى جامعاتها هندسة إقليدس المترجمة عن اللغة العربية حتى القرن(16م)، واستطاع عمر الخيام أن يبرهن أن مجموع زوايا أى شكل رباعى تساوى(360ْ) ومجموع زوايا أى مثلث تساوى (180ْ). وكان للبيرونى جهود مشكورة فى علم الهندسة، ومن كتبه "استخراج الأوتار فى الدائرة بخواص الخط المنحنى فيها"، وقد أراد البيرونى فى هذا الكتاب تصحيح دعوى القدماء اليونانيين فى انقسام الخط المنحنى فى كل قوس بالعمود النازل عليها من منتصفها والتغيير من خواصه. وقد ركز علماء المسلمين على الهندسة التطبيقية، ويتجلى هذا بوضوح فى بعض مؤلفات ابن الهيثم كمقالته فى "استخراج سمت القبلة"، ومقالته "فيما تدعو إليه حاجة الأمور الشرعية من الأمور الهندسية"، وكتاب طابق فيه بين الأبنية والحفور بجميع الأشكال الهندسية، وغيرها، ومن المؤلفات القيمة فى علم الهندسة كتاب "الشكل الهندسى" لمحمد بن موسى بن شاكر، وكتاب فى "استخراج المسائل الهندسية" لثابت بن قرة، وكتاب فى "الأعمال الهندسية"لنفس المؤلف، وكتاب "الأعمال الهندسية" لأبى الوفاء البوزجاني. وأعطى الكندي جزءًا كبيرًا من وقته لعلم الهندسة؛ فألف فيها(32)كتابًا ورسالة، منها رسالة فى "الهندسة الكروية"، ورسالة فى "الأشكال الكروية"، ورسالة فى "الهندسة المستوية"، وكتاب فى "تسطيح الكرة" وغير ذلك.

علم حساب المثلثات

وعلم حساب المثلثات علم عربى إسلامى، ويعترف جميع علماء الرياضيات الأوربيين بأن المسلمين أسهموا الإسهام الأساسى فى إنشاء علم المثلثات، وأن الفضل يرجع لهم فى جعله علمًا منتظمًا ومستقلا عن علم الفلك.
وقد قال "رام لاندو" فى كتابه "المؤثر على حضارة العرب": "إن حساب المثلثات فى أوربا كان مأخوذًا من علم حساب المثلثات عند المسلمين. ويقول "ديفيد سميث" فى كتابه تاريخ الرياضيات": "...ولم تدرس المثلثات الكروية المائلة بصورة جديدة وجدية إلا على أيدى العرب والمسلمين فى القرن الرابع الهجرى، العاشر الميلادى". وقد قام المسلمون بحل معادلات مثلثية كثيرة عن طرق التقريب، وهم أول من أدخل المماس فى إعداد النسب المثلثية. ويروى مؤرخو الرياضيات أن علماء المسلمين كانوا هم أول من استعمل المعادلات المثلثية، وإليهم يرجع الفضل فى تطوير الظل والجيب فى علم حساب المثلثات. ويقول "جوزيف هل" فى كتابه "حضارة العرب": "إن علم الجيب والظل يعتبر من تراث السلمين"، ويضيف الدكتور "دارك ستروك" فى كتابه "المختصر فى تاريخ الرياضيات": "إن كلمة جيب كلمة عربية، وهذا لا يترك مجالا للشك فى أن الفضل يرجع إلى المسلمين فى تطويرها إلى ماهى عليه الآن". ومن العلماء المسلمين الذين برزوا فى هذا العلم ابن سنان البتانى، وهو أول من استعمل المعادلات المثلثية، وأبو الوفاء البوزجانى أول من أدخل المماس فى عداد النسب المثلثية، واستخدم المماسات، والقواطع، ونظائرها فى قياس المثلثات والزوايا. كما ابتكر طريقة لإنشاء جداول للجيوب فى المثلثات المستوية، وأعطى جيب نصف الدرجة صحيحًا لثمانية أرقام عشرية، ووضع جداول لنسبة الظل التى أدخلها مع نسبتى القاطع وقاطع التمام. ومن العلماء الذين أسهموا فى علم المثلثات: أبو العباس التبريزى ، و أبو جعفر الخازن فى القرن الرابع الهجرى، والبيرونى، والعالم الأندلسى الجليل أبو إسحاق إبراهيم بن يحيى النقاش المعروف بابن الزرقالى عند الغربيين، وكان له أثر عظيم فى علم حساب المثلثات وخاصة المثلث الكروى، ووجد اسم جيب الزواية واستعمالها فى كتاب ابن الزرقالى. وقد ألف كذلك جداول لعلم حساب المثلثات ترجمها الغرب إلى اللاتينية. ويقول "سيديو" عن إنجازات البتانى فى علم المثلثات: "يرجع أول تقدم فى علم المثلثات إلى البتانى، فقد بدا لهذا الفلكى العظيم -الملقب ببطليموس العرب- أن يستبدل الأقواس بالأوتار للأقواس المضاعفة أى جيوب الأقواس المقترحة". ثم يذكر من أقوال البتانى قوله: "لم يستعمل بطليموس الأوتار الكاملة إلا لتسهيل التطبيقات، وأما نحن فقد اتخذنا أنصاف الأقواس المضاعفة". وانتهى البتانى إلى الدستور الأساسى للمثلثات الكرية فطبقه غير مرة، ونجد فى كتب البتانى لأول مرة مبدأ مماس القوس، وتعبير (جيب تمام الجيب) الذى لم يستعمله الإغريق قط، وأدخل البتانى هذا المبدأ إلى حسابات الساعة الشمسية فسماه الظل الممدود، وليس هذا سوى المماس المثلثى عند علماء الوقت الحاضر. وأضاف "إيرك بل" فى كتابه "تطورات الرياضيات": "إن البتانى هو أول عالم أدخل علم الجبر على علم حساب المثلثات بدلا من الهندسة كما كان الحال فى القديم. ومن أشهر المشتغلين بعلم الرياضيات والمكانيك: أبناء موسى بن شاكر، وقد عالجوا ألوانًا من التأليف طرقت: علم الحيل، وعلم المثلثات؛ حيث لجأوا إلى طريقة جديدة تعتمد المنحنيات فى تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أقسام متساوية، ووضع مقدارين ليتوالى على قسمة واحدة واستعملوا القانون المشهور فى عالم المثلثات باسم "قانون هيرون"، وذلك لتقدير مساحة المثلث إذا علم طول كل ضلع من أضلاعه.
وقضى أبو الوفاء جل وقته فى دراسة مؤلفات البتانى فى علم حساب المثلثات فعلق عليها وفسر الغامض منها. ويقول الدكتور "موريس كلاين" عن أبىالوفاء فى كتابه "تاريخ الرياضيات من الغابر إلى الحاضر": "إن أبا الوفاء عرف بعض النقط الغامضة فى مؤلفات العالم المسلم المشهور البتانى وشرحها". وهكذا أسهمت الحضارة الإسلامية فى إثراء الفكر الرياضى بأهم مقومات تقدمه وازدهاره، وهى العناية بالبحث العلمى والتطبيقى إلى جانب الدراسات النظرية على أساس علمى سليم يعتمد على المنهج التجريبى الاستقرائى؛ ولهذا حفل التراث العلمى الإسلامى بالكثير من النظريات والأفكار الرياضية الأصيلة التى أجمع المؤرخون على أهميتها واعتماد المحدثين عليها. ويقول الكاتب "رام لاندو" فى كتابه "مآثر العرب فى الحضارة": "إن المسلمين قدموا كثيرًا من الابتكارات فى حقل الرياضيات، ومع ذلك فإن معظم الأمريكان والأوربيين لم يعودوا يتذكرون من أى مخزن اكتسب العالم المسيحى الأدوات التى لم يكن لتصل الحضارة الغربية إلى مستواها الحالى إلا بها".وظهر من علماء الرياضيات النابغين مجموعة كبيرة تكمل انجازات السابقين وتبنى عليها ومن هؤلاء: نصير الدين الطوسى ، وكان عالمًا فذًا فى الرياضيات و الفلك، ويقول "جورج سارتون" فى كتابه تاريخ العلوم: " إن نصير الدين الطوسي يعتبر من أعظم علماء الإسلام ومن أكبر رياضييهم" فأبدع فى علم الرياضيات بجميع فروعه، و يوضح ذلك الدكتور"موريس كلاين" فى كتابه "تاريخ الرياضيات من الغابر حتى الحاضر": "أن نصير الدين الطوسى كان يعرف معرفة تامة الأعداد الصم، ويظهر ذلك من بحوثه لمعادلات صماء مثل:
الجذر التربيعى لـ (أ ب) = حاصل ضرب الجذر التربيعى لـ (أ) × الجذر التربيعى لـ (ب)، والجذر التربيعى لحاصل ضرب (أ2) × (ب2) = أب.
كما كانت لديه خبرة جيدة بالدوال الجبرية الصماء، وبالمثلث الكروى القائم الزاوية وهذا يظهر من رسالة "الأشكال الرباعية الأضلاع "، ويقول الدكتور "درك سيترك" فى كتابه "ملخص تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين الطوسى من المفكرين الاوائل فى الاعداد التى ليس لها جذور-الأعداد الصم-، ولو أعطى كل ذى حق حقه فإنه من الجدير أن يقال إنه المبتكر الأول لهذه الأعداد التى لعبت فى الغابر دورًا مهمًا ولا تزال لها أهميتها العظمى فى الرياضيات الحديثة التى تدرس الآن فى جميع أنحاء العالم. واشتهر نصيرالدين الطوسى بعلم حساب المثلثات، فألف فيه كتاب " شكل القطاعات"، وهو يحتوى على حساب المثلثات فقط، فنجح بذلك فى فصل حساب المثلثات عن علم الفلك، ويذكر الدكتور "ديفيد يوجين سميث" فى كتابه "تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين كتب أول كتاب فى علم حساب المثلثات سنه 648هـ نجح فيه نجاحًا تامًا فى فصل حساب المثلثات عن علم الفلك"، ثم أضاف "...إن نصير الدين هو أول من طور نظريات جيب الزاوية الى ما هى عليه الآن مستعملاً فى المثلث المستوى". وأوضح البروفيسور "إريك بل" فى كتابه "الرياضيات وتطويرها عبر التاريخ": أنه كان لكتاب نصير الدين الطوسي فى علم حساب المثلثات الأثر الكبير فى علماء الرياضيات فى الشرق والغرب، بما فيه من الابتكارات الجديدة التى أفادت وطورت هذا الحقل". كما اهتم بالهندسة الفوقية، أوالهندسة الإقليدسية، فقال البروفيسور "درك سترديك" فى كتابه "ملخص تاريخ الرياضيات": "إن نصير الدين الطوسى حاول بكل جدارة أن يبرهن على الموضوعة الخامسة من موضوعات إقليدس، فكانت محاولته بدء عصر جديد فى علم الرياضيات الحديثة؛ لهذا انصبت عقليته العظيمة على برهانها، وهو: ( أن مجموع زوايا المثلث تساوى زاويتين قائمتين). وألف نصير الدين الطوسى أكثر من (145) مؤلفا فى حقول مختلفة منها: علم حساب المثلثات، والجبر، والهندسة، والجغرافية، والهيئة، وغيرها منها: مقالة تحتوى على الشكل القطاعى السطحى والنسب الواقعة فيه، والرسالة الشافية عن الشك فى الخطوط المتوازية، كتاب تحرير إقليدس، وغيرها؛ ولهذا فإن نصير الدين ترجم ودرس واختصر، وأضاف نظريات جديدة إلى إنتاج من سبقه من علماء شرقيين وغربيين، فأرسى قواعد إنتاجه العلمى على تجاربه، وتجارب الآخرين وألوان نشاطهم المختلفة، كما كان نصير الدين الطوسى موسوعة فى العلوم كلها، فألف كتبًا كثيرة استفاد منها من تبعه.

ندى الدوسري S4